アフィン変換

アフィン変換は、３次元以上の空間においても定義はされますが、一番わかりやすいのは２次元空間での変換の場合でしょう。

１次元空間のある点（数直線に置き換えるなら実数値）からほかの１次元空間のある点（実数値）への変換を考える際に、一次関数というものがあります。

変換前の実数値をx、変換後の実数値をyとするとき、それらの関係が以下の形にかけるなら一次関数です。

ただしaとbは定数です。

y ＝ a * x + b

アフィン変換というのは、これを自然に２次元空間に拡張したイメージです。

y ＝ Ａ x + b

図では太字で書きましたがxやyやbは２次元のベクトルであり、またＡは2×2の行列です。

いわゆる線形変換というのは、b ＝ ０（ゼロベクトル）の場合を指しますから、アフィン変換は一次変換より広い概念です。

具体的にいうと、一次変換に平行移動を付け加えたものがアフィン変換です。

拡大や回転、鏡像反転などは一次変換の一種ですが、逆にそれだけが一次変換というわけではありません。

より一般的な変形を含みます。

それでも直線を直線に写す、線分比を保つ、平行関係を保つ、などといった特徴があります。

Ａが逆行列を持つなら、それをＡ-1と書くとして、y ＝ Ａ x + bは、以下の数式と同値になります。

x ＝ Ａ-1 (y - b)

すなわち、入力画像をアフィン変換した後の画像が得たければ、出力画像の各点に対し、それをもとにこの式から対応する入力画像の値を持ってくればよいことになります。

実際には、それによってギザギザしすぎるようであれば、平滑化処理で見やすくする、といった工夫が必要となることもあります。